Vedomosti

Ako faktor trinomial

Posted on
Autor: Monica Porter
Dátum Stvorenia: 16 Pochod 2021
Dátum Aktualizácie: 1 V Júli 2024
Anonim
Algebra II: Quadratic Equations - Factoring (Level 4 of 10) | Trinomials I
Video: Algebra II: Quadratic Equations - Factoring (Level 4 of 10) | Trinomials I

Obsah

V tomto článku: Naučte sa faktorizovať x2 + bx + Naučte sa faktorovať komplikovanejšie trinomiály Niektoré špeciálne prípady trinomiálnych faktorizácií6 Odkazy

Ako už názov napovedá, trojica je matematický výraz, ktorý má formu súčtu troch pojmov. Najčastejšie začíname študovať trinomiály druhého stupňa, ktoré si predplatíme: ax + bx + c. Existuje niekoľko spôsobov, ako faktorizovať trinomiál druhého stupňa. S praxou sa tam dostanete bez problémov. Metódy, ktoré uvidíme, sa nevzťahujú na trinomiály vyššieho stupňa (s x alebo x). Pri práci na týchto posledných trinomiáloch sa však môžeme opierať o trinomiály druhého stupňa. To všetko vidíme podrobne.


stupňa

1. časť Naučiť sa faktorizovať x + bx + c



  1. Použite metódu SIDS. Možno to viete, ale nezabudnite, o čo vlastne ide. Ak musíte napríklad vyvinúť produkt dvojhviezd - (x + 2) (x + 4) - musíte spočítať produkty rôznych výrazov v poradí „First, External, Internal, Last“. Podrobne to poskytuje:
    • násobenie prvý pojmy medzi nimi:x+2)(x+4) = x + __
    • vynásobte podmienky externý medzi nimi: (x2) (x +4) = x + 4x + __
    • vynásobte podmienky interný medzi nimi: (x +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
    • násobenie najnovšie výrazy medzi nimi: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Dokončite zjednodušením: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Pochopte, čo je to faktorizácia. Keď vyviniete produkt dvoch párov, získate trojuholník tvaru: máx +bx +C, a, bac sú skutočné čísla. Keď robíme opačnú operáciu, choďte z trojičného na binomický produkt, hovoríme, že my factorises.
    • Kvôli prehľadnosti je potrebné zoradiť pojmy trinomial podľa klesajúcej sily. Ak vám teda dáme: 3x - 10 + x, musíte prepísať v tomto poradí: x + 3x - 10.
    • Najväčším exponentom je 2 (x), hovoríme o trojinníku „druhého stupňa“.



  3. Na začiatku faktorizácie sme dali produktovú formu binomií. napísať: (__ __)(__ __), Postupne vyplníme voľné miesta a znaky.
    • Momentálne medzi tieto dva termíny dvojhviezd nevkladáme žiadne znamienka (+ alebo -).




  4. Musíte začať hľadaním prvých podmienok každého páru. Ak váš trojuholník začína znakom x, budú nevyhnutne potrebné prvé dva termíny párov x a xpretože x krát x = x.
    • Naša počiatočná trojica je: x + 3x - 10 a keďže nie je koeficient x, môžeme okamžite napísať:
    • (x __) (x __)
    • Uvidíme neskôr, ako bude postupovať, keď sa koeficient x líši od 1, napríklad 6x alebo -x. Momentálne nám zostáva tento jednoduchý prípad.



  5. Pokúste sa uhádnuť, aké budú posledné podmienky párov. Preskúmajte, ako boli pomocou metódy PEID vyvinuté posledné podmienky dvojhviezd. Teraz musíme urobiť pravý opak. Potom sme vynásobili posledné dva výrazy, aby sme získali posledný člen („konštanta“) trinomiálu. Budete teda musieť nájsť dve čísla, ktoré vám vynásobia, čím získate konštantu trojičnosti.
    • V našom príklade: x + 3x - 10 je konštanta -10.
    • Aké sú faktory -10? Aké sú dve čísla, ktoré vám vynásobíte -10?
    • Tu sú všetky možné prípady: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 a 2 x -5. Napíšte tieto kombinácie niekde, aby ste si ich zapamätali.
    • Zatiaľ je váš binomický produkt nezmenený. Vždy vyzerá takto: (x __) (x __).



  6. Otestujte rôzne kombinácie. Z konštanty sa vám podarilo identifikovať niektoré kombinácie faktorov, ktoré musí fungovať (ak je trinomiál redukovateľný). V tomto okamihu neexistujú žiadne iné riešenia, ako otestovať každú kombináciu, aby sa zistilo, či jedna z nich vyhovuje trinomiálu. Napríklad:
    • V našom príklade musí byť súčet produktu „Externý“ a produktu „Interný“ 3x (prevzatý z x + 3x - 1)
    • Vezmite kombináciu -1 a 10: (x - 1) (x + 10). Súčet produktu "Externý" a produktu "Interný" poskytuje: 10x - x = 9x. To nefunguje!
    • Zoberte kombináciu 1 a -10: (x + 1) (x - 10). Súčet produktu "Externý" a produktu "Interný" poskytuje: -10x + x = -9x. Stále to nejde! Pri prechode si všimnete, že táto posledná kontrola bola zbytočná. V skutočnosti pár (-1,10) dáva 9x a pár (1, -10) dáva -9x. Takže len vyskúšajte jeden pár.
    • Zoberte kombináciu -2 a 5: (x - 2) (x + 5). Súčet produktu "Externý" a produktu "Interný" poskytuje: 5x - 2x = 3x. Heuréka! Odpoveď znie: (x - 2) (x + 5).
    • V prípade jednoduchých trinomiálov, ako je tento (začínajúci na x), môžeme urobiť kratšie. Stačí pridať dva potenciálne faktory, na koniec pridať „x“ a hneď uvidíte, či je to správna kombinácia. Tu robíte: -2 + 5 → 3x. Ak je x lemované koeficientom, potom táto metóda nefunguje, a preto je dobré si zapamätať podrobnú metódu.

2. časť Naučiť sa komplikovanejšie trinomiály



  1. Rozdeľte svoj trojuholník do jednoduchšieho trojuholníka. Predpokladajme, že musíte zovšeobecniť tento trinomiál: 3x + 9x - 30, Pokúste sa zistiť, či pre všetky tri výrazy neexistuje spoločný deliteľ. Potom vezmeme najväčší (ak existuje niekoľko), z ktorého jeho meno „Najdôležitejší spoločný deliteľ“ (alebo PGCD). V našej trojici bude 3. Pozrime sa na to podrobne:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Teda 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Preto je ľahké podľa druhého opisu uviesť zátvorky. Získame nasledujúce: (3) (X-2) (x + 5), Nesmieme zabudnúť na 3 dať do faktora.



  2. Niekedy nemôžeme faktorovať skutočné čísla, ale množstvá s neznámymi. Môžeme teda faktor "x", "y" alebo "xy". Tu je niekoľko príkladov:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Potom, samozrejme, započítajte nový trinomiál, ako sme videli predtým. Skontrolujte, či neexistujú žiadne chyby. Precvičte si cvičenia navrhované na konci tohto článku.



  3. Pokúste sa faktorizovať trinomiály s x lemovaným koeficientom. Niektoré trinomiály druhého stupňa je ťažšie faktorizovať, obraz 3x + 10x + 8. Uvidíme, ako postupujeme, potom to, čo môžete trénovať pomocou cvičení navrhnutých na konci článku. Takto fungujeme:
    • Spýtajte sa na produkt párov: (__ __)(__ __)
    • Každý z dvoch výrazov „Prvý“ musí mať písmeno „x“ a produkt oboch musí byť 3x. Existuje iba jedna možnosť: (3x __) (x __), 3 je prvočíslo.
    • Nájdite faktory 8. Existujú dve možnosti: 1 x 8 alebo 2 x 4.
    • Pomocou týchto kombinácií nájdite konštanty párov. Dôležitý bod: keďže neznáme „x“ má rôzne koeficienty, poradie kombinácie je dôležité. Musíte nájsť koniec stredu, tu, 10x. Tu sú rôzne kombinácie:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x no!
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x no!
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x no!
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x áno! Toto je správna faktorizácia.



  4. V prítomnosti neznámeho, ktorý má silu väčšiu ako 2, je možné vytvoriť neznámu substitúciu. Jedného dňa budete určite musieť faktorizovať trinomiál štvrtého (x) alebo piateho stupňa (x). Cieľom je priviesť tento trinomiál späť k niečomu, čo je známe, to znamená trinomiálu druhého stupňa, aby bolo možné bez problémov faktorizovať. Napríklad:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Vymysli nový neznámy, ktorý problém zjednoduší. Dáme tu, že Y = x. Dali sme kapitál Y, aby sme si uvedomili, že je náhradný. Trinomial sa potom stáva:
    • = (x) (Y + 13R + 36): faktorizujeme ako v časti 1.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). Nastal čas nahradiť neznámu substitúciu jej skutočnou hodnotou:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Časť 3 Niektoré osobitné prípady trinomializácie



  1. Vyhľadajte možné prvočísla. Zistite, či konštanta a / alebo koeficient prvého alebo tretieho funkčného obdobia nebudú prvočísla. Pripomeňme, že číslo je považované za „prvotriedne“, ak je deliteľné iba 1 alebo samotným. Vychádzajúc z tejto definície, ak nájdeme prvočíslo na miestach uvedených vyššie, trinomiál môže faktorovať iba vo forme jediného produktu binomických výrobkov.
    • Napríklad v x + 6x + 5 konštanta 5 je prvočíslo, takže binomický produkt bude mať podobu: (__ 5) (__ 1)
    • V 3x + 10x + 8 je koeficient 3 je prvočíslo, takže súčin binárnych tvarov bude mať tvar: (3x __) (x __).
    • Nakoniec, v 3x + 4x + 1, 3 a 1 keďže prvočísla sú jediným možným riešením: (3x + 1) (x + 1). Vždy však skontrolujte kombináciu. Stáva sa, že niektoré trinomiály nemôžu byť faktorované. Teda 3x + 100x + 1 sa nemôže faktorovať (hovoríme, že je „neredukovateľná“). S 3 a 1 nikdy nedostanete 100.



  2. Človek musí vždy premýšľať o prípade trojice, ktorá by bola vytvorením pozoruhodnej identity, dokonalého štvorca, ktorý by vzal iba tento príklad. Pod dokonalým štvorcom sa rozumie súčin dvoch úplne identických párov: (x + 1) (x + 1), ktoré píšeme (x + 1). Tu sú niektoré z týchto dokonalých štvorcov:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) a x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) a x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) a x - 6x + 9 = (x - 3)
    • Trinomial máx + bx + C je vývoj dokonalého štvorca, ak má a C sú sami kladnými štvorcami (ako 1, 4, 9, 16, 25 ...) a ak b (kladné alebo záporné) sa rovná 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Uvidíme, či je možné faktorizovať. II sú skutočne trinomiály, ktoré nemôžu byť faktorované. Ak sa snažíte ovplyvniť trinomiál druhej kanonickej formy ax + bx + c, pretože neexistujú žiadne zrejmé korene, musíte použiť diskriminačnú (Δ) metódu. Ten sa vypočíta takto: Δ = √b - 4ac. Ak je Δ <0, potom nie je možné trinomiálne faktorovať.
    • Pre trinomiály, ktoré nie sú druhým stupňom, použite Eisensteinovo kritérium vysvetlené v časti „Tipy“.