Vedomosti

Ako započítať polynóm druhého stupňa (rovnica druhého stupňa)

Posted on
Autor: Monica Porter
Dátum Stvorenia: 17 Pochod 2021
Dátum Aktualizácie: 1 V Júli 2024
Anonim
Ako započítať polynóm druhého stupňa (rovnica druhého stupňa) - Vedomosti
Ako započítať polynóm druhého stupňa (rovnica druhého stupňa) - Vedomosti

Obsah

V tomto článku: Postupujte pokusom a omylomPostupujte rozkladom „Trojitá hra“ Rozdiel dvoch štvorcovPoužitie kvadratického vzorcaPoužitie kalkulačky

Polynóm je zložený z premennej (x) zdvihnutej na určitú mocnosť nazývanú stupeň polynómu a niekoľkých ďalších výrazov nižších stupňov a / alebo niekoľkých ďalších konštánt. Faktorizovať polynóm druhého stupňa (tiež nazývaný „kvadratická rovnica“) znamená redukovať počiatočný výraz na súčin výrazov menších stupňov, ktoré sa potom môžu navzájom násobiť. Tieto znalosti sú súčasťou stredoškolského štúdia a ďalšie, takže tento článok môže byť ťažko pochopiteľný, ak ešte nemáte požadovanú úroveň matematiky.


stupňa

Ak chcete začať



  1. Napíšte svoj výraz. Štandardná forma rovnice druhého stupňa je:

    ax + bx + c = 0
    Začnite tým, že usporiadate podmienky vašej rovnice podľa poradia právomocí, od najväčšej po najmenšiu, ako v štandardnej forme. Napríklad:

    6 + 6x + 13x = 0
    Tento výraz zmeníme tak, aby sme uľahčili prácu jednoduchým presunutím výrazov:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Nájdite faktorizovaný formulár pomocou jednej z metód vysvetlených nižšie. Faktorizácia dá dva kratšie výrazy, ktoré poskytnú počiatočný polynóm, ak ich vynásobíme jeden po druhom:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    V tomto príklade sú (2x +3) a (3x + 2) faktory počiatočnej expresie, 6x + 13x + 6.




  3. Skontrolujte svoju prácu! Vynásobte faktory, ktoré ste identifikovali. Potom skombinujte podobné podmienky a budete hotoví. Začnite s:

    (2x + 3) (3x + 2)
    Začnime testovaním tohto výrazu vynásobením podmienok týchto dvoch výrazov:

    6x + 4x + 9x + 6
    Odtiaľto môžeme pridať 4x a 9x, pretože ide o pojmy rovnakého stupňa. Potom vieme, že naše faktory sú správne, pretože sa dobre opierame o výraz odchodu:

    6x + 13x + 6.

Metóda 1 Postupujte pokusom a omylom

Ak pracujete s pomerne jednoduchým polynómom, mali by ste byť na prvý pohľad schopní nájsť jeho rozklad ako faktorový produkt. Napríklad veľa matematikov je schopných tento výraz vidieť 4x + 4x + 1 udáva faktory (2x + 1) a (2x + 1) podľa zvyku a so skúsenosťami (samozrejme to nie je také jednoduché v prípade zložitých polynómov). V tomto príklade si povedzme menej bežný výraz:


3x + 2x - 8

.



  1. Vytvorte zoznam koeficientov má a C. Použitie výrazu formulára ax + bx + c = 0, identifikujte koeficienty má a C a uveďte zoznam zodpovedajúcich faktorov. Pre: 3x + 2x - 8 to dáva:

    a = 3 a má iba jeden pár faktorov: 1 * 3
    c = -8 a štyri páry faktorov: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 a -1 * 8 ..



  2. Na kúsok papiera napíšte dva páry zátvoriek s medzerou, do ktorých môžete písať. Do zadaného priestoru zadáte konštanty pre každý výraz:

    (x) (x).



  3. Pred x napíšte pár možných faktorov pre koeficient má. Pre koeficient má v našom príklade 3x existuje iba jedna možnosť:

    (3x) (1x).



  4. Potom vyplňte dva zostávajúce prázdne miesta párom faktorov pre koeficient C. Vezmite si napríklad 8 a 1. Napíšte ich:

    (3x8) (X1).



  5. Teraz sa rozhodniteviac alebo menej) medzi x a číslo, ktoré ste za ním umiestnili. Podľa znaku pôvodného výrazu je možné zistiť, aké by mali byť znaky konštánt. volanie hod a k konštanty našich faktorov:

    Ak ax + bx + c, potom (x + h) (x + k)
    Ak ax - bx - c alebo ax + bx - c, potom (x - h) (x + k)
    Ak ax - bx + c, potom (x - h) (x - k)
    V našom príklade 3x + 2x - 8 musia byť značky umiestnené nasledujúcim spôsobom: (x - h) (x + k), čo nám dáva tieto dva faktory:

    (3x + 8) a (x - 1).



  6. Skontrolujte svoj faktorizovaný formulár jeho opätovným vývojom. Prvým rýchlym testom je skontrolovať, či strednodobý termín má správnu hodnotu. Ak x nie je dobré, možno ste pre koeficient vybrali nesprávny pár faktorov C, Pozrime sa na naše výsledky:

    (3x + 8) (x - 1)
    Vynásobením získame:

    3x - 3x + 8x - 8
    Pridaním podobných výrazov (-3x) a (8x) na zjednodušenie tohto výrazu získame:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Teraz vieme, že sme pravdepodobne identifikovali nesprávne faktory:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Ak je to potrebné, vymeňte si výber faktorov. V našom príklade vyskúšame 2 a 4 namiesto 1 a 8:

    (3x + 2) (x - 4)
    Teraz náš koeficient C je -8, ale násobenia (3x * -4) a (2 * x) dávajú -12x a 2x, ktoré navyše nie vždy poskytujú počiatočnú hodnotu b, to je + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. Ak je to potrebné, zmeňte objednávku. V našom príklade invertujeme miesto 2 a 4:

    (3x + 4) (x - 2)
    Teraz koeficient C je vždy dobrá, ale koeficienty výrazov v x sa oplatia tento čas -6x a 4x. Po pridaní získate:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Sme veľmi blízko počiatočnej hodnote 2x, ktorú sa snažíme nájsť, ale znamienko nie je dobré.



  9. V prípade potreby znova skontrolujte značky. Teraz si zachováme rovnaké poradie, ale vymeníme znamenia:

    (3x - 4) (x + 2)
    Koeficient predtým C je vždy dobrá a podmienky v x majú teraz hodnotu (6x) a (-4x). z nasledujúcich dôvodov:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Takže dostaneme to, čo sme pôvodne mali. Pravdepodobne sme našli správne faktory.

Metóda 2 Pokračujte rozkladom

Táto metóda nám umožní identifikovať všetky možné faktory na získanie koeficientov má a C a pomocou nich zistiť, ktoré faktory sú správne. Ak sú čísla veľmi veľké alebo sa zdá, že iné metódy pokusu a omylu sú príliš dlhé, môžete použiť túto metódu. Urobte nasledujúci príklad:

6x + 13x + 6

.



  1. Vynásobte koeficient má koeficientom C. V našom príklade má sa rovná 6 a C sa tiež rovná 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Nájdite koeficient b faktorovaním a potom testovaním získaných faktorov. Hľadáme dve čísla, ktoré sú faktormi produktu má * C ktoré sme identifikovali a ktorých súčet stojí za hodnotu koeficientu „b“ (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Predstavte dve čísla, ktoré ste práve dostali do svojej rovnice; umiestnite ich pred x, aby sa ich súčet rovnal koeficientu b. Vezmime si listy k a hod predstavuje dve získané čísla, 4 a 9:

    ax + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Zoskupte polynóm faktorom. Usporiadajte rovnicu tak, aby ste našli najväčší spoločný faktor prvých dvoch členov a najväčší spoločný faktor posledných dvoch podmienok. Mali by ste potom získať súčet dvoch rovnakých faktored formulárov. Sčítajte dva koeficienty dohromady a vložte ich do zátvoriek pred faktoredovanú formu; potom dostanete dva faktory:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

Metóda 3 „Trojitá hra“

Táto metóda je veľmi podobná predchádzajúcej. To spočíva v preskúmaní možných faktorov pre produkty koeficientov má a C, potom pomocou nich vyhľadajte hodnotu b, Vezmime napríklad nasledujúcu rovnicu:

8x + 10x + 2



  1. Vynásobte koeficient má koeficientom C. Rovnako ako v prípade metódy rozkladu nám to pomôže identifikovať potenciálnych kandidátov na koeficient b, V našom príklade má sa rovná 8 a C má hodnotu 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Nájdite dve čísla, ktorých súčin je práve nájdený počet (16) a ktorých súčet udáva koeficient „b“. Tento krok je totožný s krokom metódy rozkladu - to znamená, že testujeme a odmietame kandidátov na konštanty. Výsledok koeficientov má a C sa rovná 16 a koeficientu C sa rovná 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Vezmite tieto dve čísla a nahraďte ich vzorcom „triple play“. Vezmite dve čísla z predchádzajúceho kroku - povedzme im hod a k - a predstaviť ich v nasledujúcom výraze:

    ((ax + h) (ax + k)) / a

    Potom dostaneme:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Zistite, ktorý z parentetických výrazov v čitateli je deliteľný koeficientom má. V tomto príklade testujeme, či (8x + 8) alebo (8x + 2) možno vydeliť 8. (8x + 8) je deliteľné 8, potom tento výraz rozdelíme má a ponechať druhý výraz tak, ako je.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Výraz, ktorý tu uvádzame, je ten, ktorý zostane po delení koeficientom má : (x + 1).



  5. Nájdite - ak existuje - väčší spoločný faktor v oboch zátvorkách. V našom príklade má druhá expresia väčší spoločný faktor 2, pretože 8x + 2 = 2 (4x + 1). Skombinujte túto odpoveď s výrazom, ktorý ste našli v predchádzajúcom kroku. Našli ste teda dva faktory svojho polynómu.

    2 (x + 1) (4x + 1).

Metóda 4 Rozdiel dvoch štvorcov

Niektoré koeficienty polynómov možno identifikovať ako „štvorce“, to znamená produkty násobenia dvoch čísel. Identifikáciou týchto štvorcov môžete ovplyvniť niektoré polynómy oveľa rýchlejšie. Zoberme si napríklad rovnicu:

27x - 12 = 0



  1. Začnite tým, že všetko zosvetlí do väčšieho spoločného faktora, ak je to možné. V našom príklade vidíme 27 a 12, ktoré sú deliteľné 3, takže môžeme počiatočný výraz „roztrhnúť“ takto:

    27x - 12 = 3 (9x - 4).



  2. Identifikujte, či sú koeficienty vašej rovnice štvorcové čísla. Ak chcete použiť túto metódu, mali by ste mať možnosť nájsť pre svoje koeficienty druhú odmocninu (uvedomte si, že nepovažujeme záporné znaky - pretože pri zaobchádzaní so štvorcami môžu byť produktom dvoch kladných čísel alebo negatívny)

    9x = 3x * 3x a 4 = 2 * 2.



  3. Pomocou hranatých koreňov, ktoré ste našli, napíšte svoje faktory. Vezmite hodnoty má a C predtým nájdené - má = 9 a C = 4 - pred nájdením druhej odmocniny - √má = 3 a √C = 2. Toto budú koeficienty našich faktorizovaných výrazov:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metóda 5 Použitie kvadratického vzorca

Ak všetky vyššie uvedené metódy zlyhali a nemôžete nájsť správne faktory pre svoju rovnicu, použite kvadratický vzorec. Urobte nasledujúci príklad:

x + 4x + 1 = 0



  1. Zoberte hodnoty koeficientov „a“, „b“ a „c“ a nahraďte ich v nasledujúcom kvadratickom vzorci:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Potom dostaneme výraz:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Vyriešte rovnicu a nájdite x. Ako vidíte vyššie, mali by ste získať dve hodnoty x:


    x = -2 + √ (3) alebo x = -2 - √ (3).



  3. Na nájdenie faktorov použite hodnotu x. Hodnoty x získané predtým zadajte ako konštanty dvoch polynómických výrazov. To budú vaše faktory. volanie hod a k hodnoty x a zapíšeme dve faktorované formy:

    (x - h) (x - k)
    V tomto prípade je konečným výsledkom:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

Metóda 6 Používanie kalkulačky

Ak máte dovolené používať grafovú kalkulačku, uvedomte si, že to výrazne uľahčí vašu úlohu, najmä počas skúšok. Tieto pokyny platia iba pre grafické kalkulačky značky Texas Instrument. Vezmime napríklad nasledujúcu rovnicu:

y = x - x - 2



  1. Do kalkulačky zadajte svoju rovnicu. Budete musieť použiť „rezolučnú rovnicu“, teda obrazovku.



  2. Na kalkulačke urobte grafické znázornenie svojej rovnice. Po zadaní rovnice stlačte - mali by ste vidieť grafické znázornenie krivky (presnejšie dostanete „oblúk“, pretože pracujete na polynómoch).



  3. Nájdite priesečníky oblúka s osou x (x). Pretože polynómové rovnice sa tradične píšu vo forme: ax + bx + c = 0, jedná sa o dve hodnoty x, pre ktoré sa výraz rovná nule:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Ak neviete prečítať hodnoty, kde krivka prechádza osou x, stlačte tlačidlo. Stlačte alebo vyberte „nula“. Presuňte kurzor doľava od jednej z križovatiek a stlačte. Potom posuňte kurzor napravo od tejto križovatky a znova stlačte. Ďalej posuňte kurzor čo najbližšie k priesečníku a znova stlačte. Kalkulačka nájde hodnotu x. To isté urobte pre ďalšiu križovatku.



  4. Nakoniec vložte hodnoty x získané v predchádzajúcom kroku do dvojfaktorovej expresie. Ak zavoláme hod a k naše dve hodnoty x, potom použijeme nasledujúci výraz:

    (x - h) (x - k) = 0
    A tak dostaneme nasledujúce dva faktory:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Ceruzka
  • papier
  • Rovnica druhého stupňa (alebo kvadratická rovnica)
  • Grafická kalkulačka (voliteľné)